Dragomir Bratić absolvierte die Klavierausbildung bei Prof. Ninoslav Zivkovic und den Masterstudiengang Kammermusik im Klavierduo in der Klasse von Prof. Zorica Cetkovic an der Fakultät für Musikkunst in Belgrad/FMU. Darüber hinaus besuchte er Meisterkurse bei den Professor:innen Arbo Valdma, Igor Lazko, Pavel Nersesian und Natalia Trull. Derzeit unterrichtet er an der Davorin Jenko School of Music in Belgrad.
Seit 2005 ist er Mitglied der Gesellschaft der Musikkünstler Serbiens. In der Zeit von 2011 bis 2020 war er Direktor des Republikwettbewerbs der Musik- und Ballettschulen Serbiens, und seit 2015 ist Professor Bratić Präsident der Belgrader Klaviersektion.
Er ist als Dozent bei Seminaren in vielen europäischen Ländern tätig: Serbien, Bosnien und Herzegowina, Slowenien, Kroatien, Italien, Polen, die Tschechische Republik, Ungarn, Großbritannien und Russland.
Aufgrund der Originalität seines Ansatzes in der Arbeit mit Kindern ist er einer der talentiertesten Klavierpädagogen. Er hat zahlreiche Auszeichnungen für seine pädagogische Arbeit in Serbien und im Ausland erhalten. Seine Schülerinnen und Schüler spielten in allen renommierten Sälen in Serbien sowie in den berühmtesten Konzertsälen im Ausland: Carnegie Hall in New York, Musikverein in Wien, Hamburg, Dresden, Tiflis, Prag, Bologna, Stockholm, Moskau und anderswo. Die Schüler:innen von Prof. Bratić erhielten über 800 erste und besondere Preise bei nationalen und internationalen Wettbewerben.
Dragomir Bratić ist häufig Mitglied von Jurys, und zwar bei fast allen nationalen Wettbewerben sowie bei zahlreichen Wettbewerben in Slowenien, Italien, Frankreich, Bosnien und Herzegowina, Montenegro, Nordmazedonien, Georgien, Österreich, Kasachstan, der Tschechischen Republik, Deutschland, Russland, Polen und Ungarn.
Er gibt viele Konzerte im Klavierduo mit Katarina Krpan. Mit seinem BG-Klavierduo gewann er erste Preise bei Wettbewerben in Wien, Budapest und Moskau.
Er ist offizieller Mitarbeiter und Klavierbegleiter des Kolibri-Kinderchors des serbischen Fernsehens.
Auf Einladung des Bildungsministeriums beteiligte er sich an der Entwicklung neuer Klavierlehrpläne für Grund- und weiterführende Musikschulen. Bratić ist Autor des Lehrbuchs „Musikkultur für die erste Klasse der Grundschule“, herausgegeben von BIGZ.
Seit 2018 ist er Mitglied der Fachabteilung für Musikkunst bei der Nationalen Agentur für Qualifizierung. Der Klett Verlag nahm ihn in die Liste der „1000 erfolgreichsten serbischen Urheber im Bereich der voruniversitären Bildung“ auf.